La petite vie d'Ilhan et Mélia (ou la vie sans école)

« N’élevons pas nos enfants pour le monde d’aujourd’hui. Ce monde aura changé lorsqu’ils seront grands."M.M

29 décembre 2015

Les nombres au carré, au cube et les puissances...avec le materiel Montessori

Aujourd'hui, j'invite Mélia a s'installer avec moi devant son tapis.
Sur celui-ci, je place:
- Le triangle de perles (nombres de 1 à 10)
- La pyramide de perles (carrés des nombres de 1 à 10)
- La tour de perles (cubes des nombres de 1 à 10)
(voir photo ci-dessous)

Je demande à Mélia: "Est-ce cela te rappelle quelque chose?"
- Oui, là ce sont les nombres en ligne...



- Ici les nombres au carré...



- et là, les nombres au cube...



Mélia a déjà eu l'occasion de manipuler ce matériel, elle le connait parfaitement. Elle connait aussi le vocabulaire associé (nombres au cube, nombre au carré ou "carré de ...", "cube de ...").

Je lui propose de placer les nombres à coté des perles "en ligne"...


Et de faire la meme choses avec les carrée, puis les cubes...

Pour les carrés, Mélia connait celui de 100 évidemment, puis celui de 1,2, 3, 4 et 5...



Celui de 9 lui revient de temps en temps mais elle a encore du mal à le mémoriser. Ceux de 6, 7 et 8 restent encore un peu difficile pour elle. Mais elle devrait les mémoriser très prochainement avec les tables de multiplication et en travaillant d'avantage avec les chaines des carrés ;)

Je lui propose de placer plutôt les étiquettes "multiplications" qui leur correspondent...


Puis d'utiliser la calculatrice pour trouver les résultats manquants (ce qui permet en même temps de travailler la mémorisation ;) )




Pour les cubes, Mélia ne connait ni les résultats, ni les multiplications correspondantes. (Nous n'avons pas encore travaillé avec les chaines de cubes) Mais cela ne pose aucun problème pour l'activité...au contraire!

Je lui demande d'aligner les cubes comme elle l'a fait pour les barrettes et les carrés de perles et lui propose de se mettre devant le tapis, d'observer attentivement et de me dire ce qu'elle voit.

"Je vois que tout represente la même chose: une tour du plus petit au plus grand, avec d'abord des lignes de perles, puis des carrés, puis des cubes de perles".

"Oui! Est-ce que tu connais ces cubes?"
"Je connais le cube de 1000, le cube de 1 et celui de 4"

Super!
Je décide alors de partir du cube de 1000 qu'elle connait très bien...

"Le cube de 100, qu'est-ce que c'est par rapport au carré de 100?"
"100, c'est 10 x 100"
"D'accord, es-tu d'accord pour dire que 1000, c'est 10 x 10 x 10?"
"oui"

Je prends le cube de 1000 et le carré de 100 et lui montre qu'il y a en effet 10 carrés de 100 dans le cube de 1000 mais qu'on peut aussi voir qu'il y a 10 fois 10 barrettes de 10 soit 10 x 10 x 10 barrettes" (L'enfant comprend cela assez rapidement puisqu'il a déjà travailler le système décimal et la chaîne de 1000)

Pour etre + claire, voici la même chose avec le cube de 4:

Dans un cube de 4, il y a 4 fois 4 carrés de 4, soit 4 x (4x4)




Je fais avec elle la même chose pour le cube de 9 puis la laisse faire le reste, seule.


Nous arrivons à cela:

Les résultats non connus ont été trouvés par Mélia avec l'aide de la calculette

De nouveau, je demande à Mélia d'observer les étiquettes qu'elle a posées.

"Est-ce que tu remarques quelque chose?"

"Je remarque qu'il y a toujours 3 fois le meme nombre multiplié, par exemple 10x10x10 ou 9x9x9"



"Et pour les nombres au carré, tu remarques quelque chose?"
"Oui, qu'il y a que 2 fois le même nombre multiplié"
" C'est ça! Si on multiplie un nombre par lui-même, on obtient un carré et si on le multiplie de nouveau par lui même, on obtient un cube." (Je montre quelques exemples à Mélia sur le tapis, c'est assez visuel et parlant!!.)

Je lui montre que pour simplifier l’écriture "n x n", on écrit "n2"  et on dit "n au carré".


 et elle en déduit que pour simplifier "n x n x n", on écrit "n3" et je lui dis qu'on dit "n au cube".


Simple, non? ^^


Pour terminer l'activité, j'introduis le vocabulaire "puissance x".
Je place les multiplications et demande à Mélia de les simplifier, puis de trouver les résultats à l'aide de la calculatrice.



Qui a dit que les maths, c’était difficile???? :-D

Les docs pour realiser cette activité sont => ICI


Dans un prochain billet, je dévoile quelques secret sur les nombres au carré et le matériel Montessori qui rend cela si...facile!!

8 décembre 2015

Finalisation de la mémorisation de l'addition ==> Stratégies mises place pour une mémorisation efficace

Pour finaliser la mémorisation de l'addition, nous utilisons la boites des équations de l'addition.



Voici comment nous utilisons les billets à la maison:

- Je propose à Mélia de prendre autant de billets qu'elle le souhaite dans la boite.
- Je sors les résultats des additions piochées et les place devant elle afin qu’elle ne perde pas de temps à les chercher dans la boite et qu’elle puisse s’autocorriger.

A coté d’elle, se trouve une 2nde boite.
Il s’agit de la boite qui sert à placer les additions dont elle connait la somme :


- Lorsque Mélia connait le résultat « par cœur » de l’addition, c’est-à-dire lorsqu’elle peut donner le résultat sans calcul ni stratégie, elle place le billet dans cette boite.

- Lorsqu’elle ne connait pas le résultat mais le trouve rapidement par stratégie, elle place aussi le billet dans cette boite. Cela signifie qu’elle sera capable de le restituer ultérieurement. La mémorisation par coeur n'est pas utile.

- Lorsqu’elle ne connait pas le résultat, qu’aucune stratégie ne lui vient pour le trouver rapidement et que de ce fait, elle ne le trouve que par (un long) comptage. Elle remet le billet dans la boite afin de retravailler cette addition, une autre fois.


Aujourd’hui, après l'activité, il ne restait dans la 1ere boite que 37 additions sur 81…Mélia a donc fait 44 additions en quelques minutes. 

(Je lui ai volontairement proposé de faire la table de 1, de 2 et les doubles en premier puisqu'ils lui sont connus, pour vider un peu la boite.)


Voici ce qu'il reste dans la boite:

Table de 3 :
Table de 4 :
Table de 5 :
Table de 6 :
Table de 7 :
Table de 8 :
Table de 9 :




3+5
3+6
3+7
3+8
3+9





4+6
4+7
4+8
4+9


5+3
5+4


5+7
5+8
5+9


6+3
6+4


6+7
6+8
6+9


7+3
7+4
7+5
7+6

7+8
7+9


8+3
8+4
8+5
8+6
8+7

8+9


9+3
9+4
9+5
9+6
9+7
9+8

En y regardant de + près, nous pouvons constater que 18 billets peuvent être supprimés grâce à la commutativité (que Mélia connait parfaitement).

Après suppression de ces additions, il ne reste plus que 19 billets d’addition dans la boite:

Table de 3 :
Table de 4 :
Table de 5 :
Table de 6 :
Table de 7 :
Table de 8 :
Table de 9




3+5
3+6
3+7
3+8
3+9





4+6
4+7
4+8
4+9



5+4


5+7
5+8
5+9






6+7
6+8
6+9







7+8
7+9







8+9

(les couleurs correspondent au stratégies utilisées, dont je vous parle plus bas, pour trouver les resultats)


Voici maintenant quelques stratégies pour mémoriser ces additions efficacement.

Stratégie 1: La mémorisation des doubles et des presque doubles

J’écoutais Mélia raisonner tout à l’heure et dire :
« 6+6, c’est 10+2 donc ça fait 12 »  

Woooh ! 

Curieuse de savoir comment elle était passée de 6+6 à 10+2, je lui demande de m'expliquer.
Et voilà sa réponse :
« Je sais que 5+5, ça fait 10 donc j’ajoute 2 et ça fait 12 »

Et oui, ma petite grande Mélia a raisonné efficacement en travaillant à partir des doubles !!
ð             ==> (n + 1) + (n + 1) = (n + n) + 2 
   
      Notre travail sur les doubles et presque doubles est ==> ICI 



Par cette stratégie, Mélia pourra trouver la somme de :
-          5+4 ==> 4+4(+1) ou 5+5(-1) = 9
           5+7 ==> 6+6 = 12
-          6+7 ==>  6+6(+1) ou 7+7(-1) = 13
-          7+8 ==>  7+7(+1) ou 8+8(-1) = 15
-          8+9 ==> 8+8(+1) ou 9+9(-1) = 17 
           3+5 ==> 4+4 = 8

 En Montessori, les double et presque double se mémorise par l'activité "pair/impair"




Stratégie 2: La mémorisation des compléments à 10


Mélia les maîtrise parfaitement et peut ainsi supprimer de la boite :
-          3+7 = 10
-          4+6 = 10 

 Et va aussi pouvoir par stratégie donner le résultat rapide de :
-          4+7 ==> (7+3)+1 = 11 
           3+6 ==> (6+4)-1 = 10 -1= 9
       
     Je mets en partage le doc que j'ai créé pour travailler les compléments à 10 ==> ICI


En Montessori, la mémorisation des compléments à 10 passe par l'activité du serpent de l'addition.



Stratégie 3: La memorisation de la table de 10

La table de 8 et de 9 peuvent facilement être mémoriser grace à la table de 10.
==> 9+7, c’est comme (10 +7) -1 = 16.

Mélia peut ainsi facilement trouver le résultat de :
-          3+9 ==> 10+3-1= 10+2 = 12
-          4+9 ==> 10+4-1= 10+3 = 13
-          5+9 ==> 10+5-1= 10+4 = 14
-          6+9 ==> 10+6-1= 10+5 = 15
-          7+9 ==> 10+7-1= 10+6 = 16   

     et de:
         3+8 ==> 10+3-2 = 11
         4+8 ==> 10+4-2 = 12 
         5+8 ==> 10+5-2 = 13
         6+8 ==> 10+6-2 = 14


En Montessori, la table de 10 s'apprend indirectement en travaillant avec la 1ere table de Seguin.
composition des nombres de 10 à 20



Récapitulons :

La commutativité permet de divisé par 2 les additions à mémoriser. Ce qui n’est pas négligeable sur un nombre de 81 additions.



-       La table de 1 et de 2 sont faciles à retenir. Aucun travail n'est nécessaire.
  Je les supprime donc de la table. 





        La mémorisation:
       - des nombres pairs et impairs (doubles et presque doubles)


table sans la table de 1, de 2 et sans les doubles et presque doubles

,        - des compléments à 10 (+1 et -1)


table précédente sans les résultats pouvant être restitués grâce aux compléments à 10 (+1 et -1). 

        - et de la table de 10 (-1 et -2)


table précédente sans les résultats pouvant être obtenus grâce à la table de 10 (-1 et -2)

       SUFFISENT à restituer TOUTES les tables d'additions!!

       Les 2 résultats restants (5+3=8 et 7+5=12) sont facilement "transformables" en double: 
==> 5 + 3 est facilement transformable en  4+4 =8
==> 7 + 5 est également transformable en  6+6 = 12

Autrement dit:

Il est inutile d'apprendre les 9 ou 10 tables d'additions par cœur.

La mémorisation de l'addition doit se faire de maniere efficace, c'est à dire par développement de stratégies de raisonnement.


En travaillant simplement sur les doubles (pairs/impairs), la table de 10, ainsi que les compléments à 10, l'enfant sera capable de restituer TOUTES les tables d'additions.
==> C'est ce que je viens de démontrer + haut en supprimant au fur et à mesure les résultats de la table d'addition.



Merci Maria, Merci Mélia <3

3 novembre 2015

Doubles et presque-doubles...Stratégie de mémorisation de l'addition (Montessori)

En Montessori, les enfants apprennent/comprennent très tôt la notion de pair et impair.


Une notion qu'ils revoient plus tard lorsqu'ils travaillent sur la mémorisation de l'addition et de la multiplication.

L'utilisation de la 3eme table de contrôle de l'addition propose à l'enfant de prendre les doubles (les nombres pairs) et les presque-doubles (les nombres impairs) comme points d'appui pour trouver la somme de toutes les tables d'additions.



Explications:

Après avoir compris le principe de commutativité de l'addition et avoir travailler avec la 2eme table de contrôle de l'addition, les enfants vont par cette 3eme table, encore plus simplifiée, comprendre qu'à partir des seuls résultats présentés (les doubles et les presque-doubles), il est possible de retrouver la somme de toutes les autres tables additions....et vont ainsi travailler le calcul mental automatisé et réfléchi.


Complément d'informations:

1ere table de contrôle:


2eme table de contrôle:
==> Commutativité: on supprime la moitié des tables!


3eme et dernière table de contrôle:
Suppression de toutes les égalités pour ne laisser que les doubles et presque doubles.



Présentation de la 3eme table de contrôle de l'addition:

La présentation de la 3eme table de contrôle de l'addition se fait de la même maniere que la présentation de la 2eme table de contrôle.
Il s'agit de la même table mais un peu plus simplifiée, encore: toutes les égalités ont été supprimées pour ne laisser que les doubles et les presque-doubles (doubles -1).



L'enfant, grâce à cette nouvelle table, va pouvoir se corriger et mémoriser les tables d'addition par le mouvement de ses doigts, à partir des doubles. Et de cette maniere: observer, repérer, sentir et comprendre que:


- Si les 2 termes de l'addition sont pairs (doubles) alors la somme est paire (double) ==> le résultat est dans l'alignement de ses doigts = sur la ligne des doubles.


- Si les 2 termes de l'addition sont impairs (presque-doubles) alors la sommes est paire (double) ==> 
le résultat est dans l'alignement de ses doigts = sur la ligne des doubles.


- Si les 2 termes sont de parités différentes ( double + presque-double) alors la somme est impaire (presque-double) ==> le résultat est décalé sur la ligne des presque-doubles.




Et puis évidemment, l'enfant va apprendre à additionner à partir des doubles et des presques-doubles (doubles +1 ou -1) et ainsi perfectionner sa rapidité de raisonnement et son calcul mental:
Ex: 6+5 = 6+6 -1 = 12-1= 11
    8+9 = 8+8+1= 16+1 = 17

Par cette correction, cette mémorisation, l'enfant développe des stratégies de raisonnement et apprend à organiser ses calculs: il travaille le calcul mental automatisé et réfléchi.

Avant d'en arriver à la 3eme table de contrôle de l'addition, l'enfant aura travaillé sur:

- Les nombres pairs et impairs, 
- Les compléments à 10 avec les barres rouges et bleues puis le serpent de l'addition...(comme ICI),
- Les égalités à 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 avec les barres rouges et bleues, puis les perles colorées, 

- Les additions dizaines + unités avec les tables de Seguin...
- Les tables d'additions avec les chaines de perles (compter en sautant)
- Le système décimal
- Les grandes additions...

A ce stade, il connaîtra donc la majorité des tables et sera capable de restituer par calcul mental rapide celles qu'il ne connait pas.  


Voici notre activité du jour:

Nous avons repris avec Mélia, l'activité "Pair/impair" afin de l'approfondir aujourd'hui.

Pour cela, j'ai créé des petites étiquettes et nous avons pris les perles colorées.

J'ai commencé l'activité puis Mélia a poursuivi tout en me disant qu'elle avait remarqué la suite logique que les perles produisaient ;)
(Oh ben oui, tiens, encore une des magies du matériel Montessori!!)



==> Je mets ICI le document pair/impair en téléchargement.
(Les petits carrés rouges remplacent les jetons pour la 1ere présentation si vous n'avez rien sous la main)

==> L'article sur la notion de pair/impair de Sylvie d'Esclaibes vous en donnera toutes les explications

Nous arrivons à quelque chose de très visuelle qui permet sans difficulté de voir qu'un nombre pair est un multiple de 2 (n x 2) et qu'un nombre impair est un multiple de 2...- 1 ==> (n x 2 - 1) ou comme ici d'un multiple de 2...+1 ==> (n x 2 + 1).


Je demande à Mélia:

"Peux-tu me lire les chiffres pairs?"
- 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,18

"Peux-tu me lire les chiffres impairs?"

- 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

Je lui tends les étiquettes des additions correspondantes:

==> Le document que j'ai créé pour cette 2eme activité est ==> ICI

"Peux-tu placer l'étiquette "2+2" à coté de son résultat?"
"Et les autres étiquettes?"



" Peux-tu maintenant placer l'étiquette "4x2-1" à coté de son résultat?
"Et les autres étiquettes?"




"Les nombres pairs sont des multiples de 2. On peut aussi les appeler "les doubles""
"Les nombres impairs sont presque des multiples de 2 mais il y a une perle en + ou une perle en -...Tu as vu (montrer à l'enfant la perle en + et montrer qu'on peut la supprimer pour en faire un double ou en ajouter une de +)" 

"Pour les doubles, on peut dire que c'est un meme nombre x2" ==> On place l'étiquette "n x 2"

"Les presque-doubles sont presque doubles mais il leur manque 1 ou au contraire, ils ont 1 de trop.
5 est un presque double, c'est 4+1 ou 6-1. On peut dire que c'est un 
même nombre x 2 -1 (ou +1)" ==> On place l'étiquette "n x 2 -1"



A ce moment, on peut montrer à l'enfant, s'il ne le sait pas déjà, que les chiffres pairs finissent par 0/2/4/6/8 et les impairs par 1/3/5/7/9.
Mélia le savait déjà. 


Nous sommes ici en possession de tous les éléments qu'il nous faut pour travailler l'addition à partir des doubles et des presque-doubles comme Maria Montessori nous le proposait avec la 3eme table de controle.


J'invite alors Mélia à placer les doubles et presque doubles sur la table d'additions à compléter.


"Es-ce que tu remarques quelque chose?"
- Oui, c'est la même chose que la table d'addition que tu m'as montrée tout à l'heure!

Et oui!! Nous obtenons la 3eme table de contrôle de l'addition :-D

A partir de là, je lui propose de  faire quelques additions en s'aidant de la nouvelle présentation qui lui a été faite.



Je mets le petit livret d'additions aléatoires en téléchargement ==> ICI



Dois-je vous dire encore une fois mon ADMIRATION pour Maria MONTESSORI?? :-D


Pour telecharger la table d'addition à completer et les 3 tables de controle, c'est ==> ICI



30 octobre 2015

Mémorisation de l'addition ou la magie du matériel Montessori ( calcul mental automatisé)


La façon dont a été réalisée la mémorisation retentit sur la faculté de récupération des résultats (c'est le cas en particulier pour la récitation des tables de multiplication, qui oblige parfois les élèves à réciter depuis le début pour trouver le résultat de 7x8) :
- on mémorise mieux ce qu'on a compris, ce qui a du sens, ce qui a un intérêt pour soi ;
- on mémorise mieux un ensemble d'éléments structurés, organisés entre eux, qu'un ensemble d'éléments hétéroclites (on proposera donc des activités favorisant cette structuration
(appui sur les doubles, passage de la dizaine, commutativité, …)

On peut dire que « mémoire » et « intelligence » ne s'opposent pas, mais que « l'intelligence » qu'on a des choses en favorise la mémorisation.
(source:  ERMEL (CE1), HATIER)

Aujourd'hui, j'ai proposé à Mélia de travailler sur la mémorisation de l'addition.



Le calcul mental est une chose qu'elle maîtrise parfaitement et qu'elle adooore!
La mémorisation de l'addition ne lui pose aucun problème. On arrive au bout, tranquillement.

L'activité du jour était essentiellement pour de nouveau provoquer ce que j'appelle un "Déclic-Maths"... et ce fut le cas!!
Son intelligence logico-mathématiques se développe +++ en ce moment. C'est un vrai régal de la voir comprendre et analyser seule toutes ces choses!
Je savais là qu'elle n'aurait aucune difficulté et qu'elle travaillerait avec plaisir.
(Le travail de l'accompagnateur/éducateur/parent est d'observer l'enfant, de ressentir ses besoins et de l'aider à découvrir seul)


But de l'activité: En finir avec la 2eme table de l'addition et passer à la dernière.

Voici la fiche que je lui ai proposé:
Il suffit de cliquer dessus pour l'imprimer ;)

Volontairement, j'ai supprimé une partie des tables puisque tout comme la multiplication, l'addition est une opération commutative.

Mélia connait depuis longtemps cette notion de commutativité (Merci Maria Montessori!!) et elle sait parfaitement que a+b = b+a.
Et c'est pour cette raison et uniquement celle-ci que nous ne travaillons plus que sur la moitié des tables.
C'est à dire sur la table d'additions simplifiée!!


Evidemment, cela rend le travail beaucoup beaucoup plus facile et agréable!


Mélia a rempli la fiche en à peine quelques minutes...Et sans s'aider de la table à doigts que je lui avais mis à disposition.
Je savais qu'elle n'en aurait pas besoin mais je sais aussi qu'en cas de doute, elle aurait pu s'en servir ;-)



"Tu sais pourquoi je vais si vite maman? Parce que j'ai remarqué que les résultats se suivent. C'est d'abord 2, puis 3,4 puis 4, 5, 6...En fait, c'est normal, puisque 8+3, c'est comme 8+2+1...on ajoute 1 à chaque fois" m'a-t-elle dit :-)

Elle avait déjà fait ce constat en remplissant la table d'additions, il y a quelques temps:


Et oui, les maths avec Montessori, c'est troooop facile!!

Mission accomplie, nous passerons bientôt à la 3eme table d'additions.


Cette 3eme table de mémorisation de l'addition ne comporte que les doubles (que Mélia maîtrise déjà) et les presque doubles (qui ne devraient poser aucun problème).


Pour mémoriser l'addition, Mélia aime utiliser:
- La table d'additions




- Les billets de l'additions



Et il vous suffit de cliquer sur les liens pour télécharger les documents que j'ai créé pour vous si vous ne disposez pas du matériel ;-)

Pour en savoir plus sur les étapes de la mémorisation de l'addition, je vous propose de vous rendre sur le blog "Ecole et Cabriole" ==> ICI


Caroline NonSco. Modèles d'images de Jason Morrow. Fourni par Blogger.

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